Riemannova hypotéza

Souhrn

Přednáška se zaměřuje na vysvětlení Riemannovy hypotézy, jednoho ze sedmi “problémů tisíciletí” vyhlášených Clayovým matematickým institutem. Hypotéza, formulovaná Bernhardem Riemannem v roce 1859, se týká Riemannovy zeta funkce, která je definována jako nekonečná řada. Pro s = 2 je tato řada konvergentní a její limita (řešení Basilejského problému) je π²/6, což ukazuje překvapivé spojení s kruhem. Riemann zeta funkci rozšířil i pro komplexní čísla a zjistil, že její nulové body (hodnoty s, pro které je zeta(s) = 0) souvisí s rozložením prvočísel.

Riemannova hypotéza tvrdí, že všechny netriviální nulové body Riemannovy zeta funkce leží na kritické přímce v komplexní rovině, kde reálná část čísla je 1/2. Ačkoliv byly nalezeny biliony nulových bodů na této přímce, nikdo dosud nedokázal, že tam leží všechny, ani nenašel protipříklad. Důkaz nebo vyvrácení hypotézy by mělo zásadní dopad na teorii čísel, zejména na pochopení distribuce prvočísel. Pro toho, komu se podaří hypotézu vyřešit, je připravena odměna 1 milion dolarů.

Přepis

Úvod

Brady: Můžu se tě na něco zeptat, Brady? Jaký je nejtěžší způsob, jak vydělat milion dolarů natáčením videí na YouTube?

Frenkel: No, ty o tom asi víš mnohem víc než já. Jedním z nejobtížnějších je vyřešit jeden z problémů tisíciletí v matematice, které stanovil Clayův matematický institut v roce 2000. Jeden z těchto problémů se nazývá Riemannova hypotéza a odkazuje na práci německého matematika Bernharda Riemanna z roku 1859.

Problémy tisíciletí

Frenkel: Toto je jen jeden z problémů. Ve skutečnosti je jich sedm a zatím byl vyřešen pouze jeden. A je zajímavé, že osoba, která problém vyřešila, odmítla 1 milion dolarů. To jen ukazuje, že matematici na těchto problémech pracují ne proto, aby si vydělali nějaké peníze. Myslím, že je to teď nejslavnější problém v matematice. Nahradil Fermatovu poslední větu, kterou vyřešili Andrew Wiles a Richard Taylor v polovině 90. let. Ale to nebyl problém tisíciletí.

Riemannova zeta funkce

Frenkel: Nejpodstatnější věcí je to, co nazýváme Riemannova zeta funkce. Riemannova zeta funkce je funkce. Funkce je tedy pravidlo, které každé hodnotě přiřazuje určité číslo. Riemannova zeta funkce přiřazuje určité číslo jakékoli hodnotě s. A toto číslo je dáno následující řadou: 1 děleno 1 na s plus 1 děleno 2 na s plus 1 děleno 3 na s, 4 na s a tak dále.

Příklad: Zeta(2) - Basilejský problém

Frenkel: Takže například, pokud položíme s = 2, zeta(2) bude 1 děleno 1 na druhou plus 1 děleno 2 na druhou plus 1, 1 děleno 3 na druhou plus 1 děleno 4 na druhou a tak dále. Takže co to je? To je 1. To je 1/4. To je 1/9, 1/16. Toto je příklad toho, co matematici nazývají konvergentní řadou, což znamená, že pokud sečtete prvních N členů, dostanete výsledek, který se bude stále více blížit nějakému číslu, a toto číslo, ke kterému se blíží, se nazývá limita.

Frenkel: Ale limita je zde velmi zajímavá a nalezení této limity byl slavný problém v matematice. Nazývá se Basilejský problém, pojmenovaný podle města Basilej ve Švýcarsku. A tento Basilejský problém vyřešil velký matematik Leonhard Euler. A odpověď je velmi překvapivá. Euler ukázal, že součet této řady je π²/6. A možná se ptáte, co má tento součet společného s kruhem? Proč by se tam objevilo π? Ale Euler přišel s krásným důkazem. Nebudu ho teď vysvětlovat, ale je to něco, co můžete snadno najít online.

Zobecnění zeta funkce

Frenkel: Tato řada je jen jedním příkladem Riemannovy zeta funkce. Ale můžete zkusit totéž pro jakoukoli jinou hodnotu s. Takže například, pokud vezmete s = 3, dostanete převrácené hodnoty všech krychlí a sečtete je a tak dále. Toto bude opět konvergentní řada. A můžete se ptát, jaký je výsledek. To by bylo Zeta(3).

Frenkel: Můžete také zkusit dosadit záporná čísla. A to je velmi zajímavé, protože pokud dosadíte, pokud jen dosadíte s = -1, co dostaneme? Dostanete 1 děleno 1 na -1 plus 1 děleno 2 na -1 plus 1 děleno 3 na -1. Pokud vezmete převrácenou hodnotu něčeho, co je inverzní k něčemu, pak dostanete tu věc. Takže toto bude 1, toto bude 2, toto bude 3, toto bude 4. Vypadá to povědomě? Ano, už jsem to viděl. Došli jsme ke slavnému součtu všech přirozených čísel, 1 + 2 + 3 + 4.

Frenkel: Ale vidíte, teď jsme to získali v kontextu zeta funkce. Toto je to, co nazýváme divergentní řadou. Neexistuje žádný zřejmý způsob, jak bychom k tomu mohli přiřadit konečnou hodnotu. Tento součet je nekonečný. Nekonverguje k žádné konečné hodnotě. Ale v tomto kontextu, pokud dosadíme tuto hodnotu, tento nekonečný součet, do kontextu této funkce, existuje způsob, jak přiřadit hodnotu tomuto s = -1. A to je to, co Riemann vysvětlil ve svém článku.

Komplexní čísla

Frenkel: A Riemann řekl, že bychom měli dovolit, aby s nebylo jen přirozené číslo, jako například 2 nebo 3 nebo 4, kdy je řada konvergentní. Ale měli bychom povolit také všechna možná reálná čísla a nejen reálná čísla, ale i komplexní čísla.

Frenkel: Způsob, jakým získáte komplexní čísla, je uvědomit si, že v rámci reálných čísel nemůžete najít druhou odmocninu z -1. Tak co dělat? Jedním ze způsobů je zakázat druhou odmocninu z -1 a říci, že to neexistuje, nemůžeme to použít. Ale v matematice jsme už dávno pochopili, že existuje mnohem lepší způsob, jak s touto druhou odmocninou z -1 zacházet. Můžeme ji jednoduše připojit k reálným číslům.

Frenkel: Představte si reálná čísla jako body na přímce. Tady je 0 a tady je 1 a tady je 2. A pak si můžete označit své oblíbené zlomky. Například 1/2 je přesně uprostřed mezi 0 a 1. A řekněme, že 1 a 1/3 by byla zhruba třetina cesty mezi 1 a 2. Ale pak máte také věci jako druhá odmocnina ze 2, například někde tady. A pak je tu π, které je těsně napravo od 3. Takže všechna reálná čísla žijí zde. Druhou odmocninu z -1 nelze nikde na této přímce najít.

Frenkel: Ale nevzdáváme se. Říkáme: „Víte co, nakresleme rovinu. Nakresleme další souřadnicový systém a označme druhou odmocninu z -1 na této nové souřadnicové ose.“ Vidíte, když to uděláme, pak se každý bod v této rovině stane číslem. Takže to by bylo 2 krát druhá odmocnina z -1. Pak, když vezmu 3 krát, ale víc než to, dovolte mi najít číslo, které je na průsečíku této přímky. Můžu nakreslit svislou čáru, která jde od 2, a můžu jít nakreslit vodorovnou čáru. Existuje tento průsečík. Takže tento bod bude také reprezentovat číslo, které bude 2 plus 3 krát druhá odmocnina z -3 (oprava: -1).

Frenkel: Jinými slovy, obecné číslo bude mít to, co nazýváme reálnou částí. To je projekce na tuto osu a imaginární část, to je projekce na svislou osu. Zápis je trochu nemotorný. Místo druhé odmocniny z -1 píší i. Takže například místo psaní 2 plus 3 druhá odmocnina z -1, napíšeme jen 2 plus 3i. Je to imaginární číslo. Představujeme si ho, nemůžeme ho najít na této reálné přímce. Takže jsme si ho představili. A pak jsme ho v naší představivosti připojili.

Frenkel: Reálná čísla zahrnují všechny body na reálné přímce, na této ose. A komplexní čísla zahrnují všechny body na tomto hnědém papíře (rovina), pokud byste mohli rozšířit hnědý papír až do nekonečna.

Riemannovo rozšíření zeta funkce

Frenkel: Dobře, vraťme se k Riemannovi. Riemannův vhled spočíval v tom, že řekl: „Podívejte, zamysleme se nad tímto argumentem zeta funkce, tímto číslem s.“ Zpočátku jsme si mysleli, že s může být 2, 3, 4 a tak dále. Ale pak jsme si uvědomili, že ve skutečnosti jakékoli číslo, jakékoli reálné číslo napravo od, napravo od čísla 1, ne včetně čísla 1, protože v tomto případě nemůžete přiřadit hodnotu. Je to divergentní řada a jde do nekonečna. Ale cokoli napravo, a já to kreslím a označuji červeně. Pro všechny z nich je tato funkce ve skutečnosti dobře definovaná.

Frenkel: Ale pak řekl, že můžeme udělat víc. Můžeme si představit, že s je komplexní číslo. Takže místo toho, abychom si představovali, že s je jen bod na této přímce, můžeme vzít s kdekoli. Bude konvergentní, pokud je napravo od této přímky. Vidíte, toto je přímka, která jaksi, napravo od této přímky, leží všechna komplexní čísla, jejichž reálná část je větší než 1.

Frenkel: Takže se ukazuje, a je velmi snadné to ukázat, že kdekoli ve stínované oblasti, kromě této přímky (Re(s) = 1), pro jakoukoli hodnotu s v této oblasti tato funkce k něčemu konverguje.

Brady: Takže když dosadím 6 + 9i do Riemannovy zeta funkce, dostanu konvergenci?

Frenkel: Správně. Dostanete konvergentní řadu. Bude konvergovat k něčemu, co nebude reálné číslo. Bude to komplexní číslo, protože budete sčítat nekonečně mnoho komplexních čísel, ale bude existovat určité číslo, ke kterému se bude stále více blížit, jak budete pokračovat v sčítání této řady.

Frenkel: Takže zatím v podstatě všechno napravo od této přímky nám dává bona fide hodnotu. Může být imaginární část záporná?

Frenkel: Ale imaginární část, ano, imaginární část je v pořádku. Může být záporná nebo kladná, ale reálná část musí být větší než 1. Ale teď jste v kontextu teorie funkcí s komplexním argumentem. A je to to, co nazýváme holomorfní funkcí. Takže má některé velmi speciální, velmi pěkné vlastnosti.

Analytické pokračování

Frenkel: Jednou z vlastností, které tyto, jak říkáme, holomorfní funkce mají, je to, co nazýváme analytické pokračování. Takže můžeme rozšířit definici, definiční obor funkce. Existují metody, které nám umožňují jaksi posunout hranici a jaksi jít a rozšířit doménu, ve které je funkce definována.

Frenkel: A ve svém zásadním článku Riemann udělal přesně to. Vysvětlil, jak rozšířit tuto funkci na všechny možné hodnoty kromě jedné. Takže existuje pouze jedna hodnota, kde nemůžete nic dělat, že nějakým způsobem bude nedefinovaná. A tomu říkáme pól nebo singularita. A jaká je to hodnota? Tou hodnotou je ve skutečnosti s = 1. Takže toto je nějakým způsobem. To je špatný bod v jistém smyslu. To je bod, kde nemůžeme rozšířit … a nulová i složka (žádná imaginární část).

Frenkel: Správně. Takže toto je bod, který je ve skutečnosti reálné číslo. Takže je to vtipné, protože byste si mysleli, že 1 je v jistém smyslu jednodušší, lepší než i. Ale v i bude tato funkce dokonale dobře definovaná, ale v 1 nebude dobře definovaná. Bude mít singularitu, ale naštěstí je to jediná singularita.

Frenkel: Co to znamená konkrétně, je, že existuje způsob, jak přiřadit hodnotu -1. Jinými slovy, existuje hodnota zeta(-1), kde zeta nyní myslíme tuto rozšířenou funkci, funkci analyticky pokračovanou na celou komplexní rovinu. A to je, a ta hodnota bude, uhodli jste, -1/12.

Frenkel: V tomto smyslu se říká, že byste mohli regularizovat součet 1 + 2 + 3 + 4 a přiřadit mu hodnotu -1/12, protože se objevuje jako hodnota zeta funkce, kde byste naivně měli dostat 1 + 2 + 3 + 4. Ale teď získáváte tuto hodnotu mnohem sofistikovanějším postupem, a to tak, že začnete s komplexní funkcí s komplexním argumentem a rozšíříte ji za původní definiční obor.

Brady: Takže bez ohledu na to, jaké číslo vyberu odsud nebo odsud, nebo odsud, nebo odsud, nebo odsud a dosadím ho do funkce, dostanu nějaké číslo?

Frenkel: Dostanete dobře definované číslo, jednoznačně definované číslo, a můžete ho vypočítat na počítači, protože toto číslo může být reprezentováno nějakým integrálem. Například pro něj existuje explicitní vzorec. Dobře, a ty vypočítáš, já vypočítám, dostaneme stejný výsledek. Neexistuje žádná nejednoznačnost. Jediný bod, kde není dobře definovaná, je bod s = 1. To je jako Achillova pata, nebo je to …

Brady: Achillova pata.

Frenkel: To je velmi dobrý způsob, jak to říct. Je to Achillova pata té funkce. Ale je to velmi důležité, je to zodpovědné za spoustu věcí, které se s ní dějí. Takže je to velmi důležitý bod.

Riemannova hypotéza: Nulové body zeta funkce

Frenkel: Riemannova hypotéza je následující. Jde o nulové body této zeta funkce. Jinými slovy, je to otázka, pro jaké hodnoty, pro které s máme zeta(s) = 0. To je otázka za milion dolarů. Pro které hodnoty s se tato funkce rovná 0?

Frenkel: A tady je jeden bod, který je třeba zmínit, a to, že existují některé jakési zřejmé nulové body. Tak se prostě stalo, že hodnota v -2, například, se rovná 0. -4 se rovná 0. Jinými slovy, všechna sudá záporná čísla, z nějakého důvodu se to prostě stane, a můžete to vidět například z funkční rovnice snadno, že hodnota bude prostě nula.

Frenkel: Takže existují některé zřejmé nulové body, abych tak řekl, které už známe, otázka je, co dál? Kde jsou ostatní nulové body? A je ve skutečnosti velmi snadné vidět, že všechny ostatní nulové body musí být soustředěny v tomto jednom pásu. Takže na jedné straně tohoto pásu je svislá osa, je svislá osa, a na druhé straně tohoto pásu je tato přímka, kde reálná část je 1. A pojďme, pojďme … Takže tomu se říká kritický pás. To jsou všechna komplexní čísla, pro která je reálná část mezi 0 a 1.

Frenkel: A uvnitř tohoto kritického pásu je prostřední přímka, pro kterou je reálná hodnota 1/2. A podíváme se na všechna čísla, pro která je toto reálná část, například 1/2 + 5i bude bod někde tady. Takže to bude na této přímce. A to, co Riemann navrhl, počet nulových bodů je minimální možný. Všechny se soustředí podél této kritické přímky.

Frenkel: Podle Riemannovy hypotézy, která stále nebyla dokázána, jeho hypotéza je, že všechny nulové body jeho funkce leží na této přímce, kromě těch (triviálních).

Brady: Přesně. Všechny nulové body leží na té přímce, na té svislé přímce, která prochází bodem 1/2. To je přesně tvrzení Riemannovy hypotézy.

Brady: Takže jeden způsob, jak vyvrátit hypotézu, by bylo najít nulový bod někde v té modře stínované oblasti.

Frenkel: Přesně. Víme, že všechny budou v modře stínované oblasti. Otázka je, zda jsou na této jedné konkrétní přímce. A věřte mi, spousta lidí hledala protipříklad, mimochodem, člověk vyhraje milion dolarů, pokud dokáže Riemannovu hypotézu nebo ji vyvrátí. Takže pokud by někdo mohl najít bod tady, který je nulový, ale není na této přímce, vyhraje také milion dolarů. Takže spousta lidí hledala, ale nebyli schopni ho najít.

Brady: Bylo nalezeno hodně nulových bodů na přímce?

Frenkel: Ano, obrovské množství, nepamatuji si, ale myslím, že biliony čísel. Takže všechny nulové body, které byly nalezeny, jsou na této přímce. A neustále probíhá hledání dalších a dalších.

Spojení s prvočísly

Frenkel: Způsob, jakým jsem to vysvětlil, to zní jako exotický problém, ale ve skutečnosti je v tom víc, než se na první pohled zdá. Protože Riemann v tom úžasném článku, který napsal v roce 1859, také vysvětlil, že toto chování jeho zeta funkce, která se nyní po něm nazývá Riemannova zeta funkce, a konkrétněji chování a umístění nulových bodů této funkce, má přímý vliv na distribuci prvočísel. A prvočísla jsou neuvěřitelně důležitá.

Frenkel: Prvočísla jsou něco, co lidé studovali po tisíciletí, že? Takže Riemann byl schopen spojit vlastnosti této funkce s distribucí prvočísel. A získal krásný vzorec, který vám říká, kolik prvočísel existuje, řekněme mezi 1 a 100, mezi 1 a 1000, mezi 1 a 1 milionem pro libovolné n mezi 1 a n, pomocí jeho zeta funkce, což je naprosto ohromující, protože když si představíte zeta funkci, něco, co má co do činění s komplexními čísly a s analytickým pokračováním a tak dále a tak dále. Takže je to určitá oblast matematiky, která se nazývá komplexní analýza.

Frenkel: Ale prvočísla žijí v jiné oblasti matematiky, v teorii čísel. A je velkým překvapením, že tyto dvě věci jsou velmi úzce spojeny. Ale tento vztah, který Riemann našel, je založen na Riemannově hypotéze. Je založen na vědomí, že všechny nulové body jsou umístěny na této kritické přímce. Proto je tato otázka Riemannovy hypotézy tak důležitá, protože pouze pokud víme, že Riemannova hypotéza platí, můžeme získat všechny tyto hluboké výsledky o distribuci prvočísel, ve kterých nahrazujeme řady jejich jaksi regularizovanými hodnotami. A já si opravdu rád představuji tyto regularizované hodnoty jako jakési, víte, odstranění nějakého druhu … Jako by tam bylo … Představte si kus zlata, který je obklopen tímto nekonečným množstvím špíny, a vy jaksi vyhodíte tuto špínu a zůstane vám tento malý kousek zlata. Takže to, co se snažím říct, je, že …

Kritické zhodnocení

Přednáška Edwarda Frenkela poskytuje poměrně srozumitelný úvod do Riemannovy hypotézy, i když zjednodušuje některé složitější aspekty.

• Pozitiva:
  • Srozumitelné vysvětlení pro laiky, použití analogií (Achillova pata, zlato a špína).
  • Jasné vysvětlení základních pojmů (funkce, konvergentní/divergentní řada, komplexní čísla).
  • Zdůraznění historického kontextu a významu problému.
  • Správně uvádí spojitost mezi Riemannovou hypotézou a distribucí prvočísel.
• Negativa/Zjednodušení:
  • Přednáška se vyhýbá hlubšímu matematickému formalismu, což je pochopitelné vzhledem k cílovému publiku, ale pro hlubší pochopení je nutné studium dalších materiálů. Analytické pokračování je vysvětleno velmi zjednodušeně.
  • Zmínka o “regularizaci” součtu 1+2+3+4= -1/12 je přesná v kontextu Riemannovy zeta funkce, ale mohla by být lépe vysvětlena, aby se předešlo nedorozuměním. Mimo kontext zeta funkce se jedná o divergentní řadu.

Relevantní zdroje a další studium:

1. Clay Mathematics Institute - The Riemann Hypothesis: https://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis - Oficiální stránka s popisem problému.
2. “Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics” od Johna Derbyshira - Kniha, která se detailněji věnuje Riemannově hypotéze.
3. “Dr. Riemann’s Zeros” od Karla Sabbagha - Další kniha, která se soustředí na tento problém.
4. Wikipedia - Riemann hypothesis: https://cs.wikipedia.org/wiki/Riemannova_hypot%C3%A9za- Užitečný zdroj doplňujících informací, odkazů a detailů.
5. “The Music of the Primes” od Marcuse du Sautoy - Kniha pojednávající o prvočíslech, kde je vysvětlena i Riemannova hypotéza.

Celkově je přednáška dobrým úvodem do problematiky, ale pro hlubší pochopení Riemannovy hypotézy je nutné konzultovat další, odbornější zdroje. Důraz na vztah mezi zeta funkcí a prvočísly je klíčový a správně zdůrazněný.

Odkaz na originální video